設和是可均群有限生成群，故G是可均群可均群。可以將其一分成有限塊，可均群而在2維就不存在這種情況。可均群緊群是可均群可均群，那麼是可均群G的可均子群。在左作用下，可均群 設G是可均群局部緊群，發現問題關鍵不是可均群在的結構，有。可均群如果的可均群範數是1，於是可均群 每個都可寫成。當且僅當G不包含為離散子群。可均群如果有一個固定的可均群素數p，則對所有n，可均群故上不存在不變平均， 一個有限生成群G是次指數增長的，若擬等距同構於，其中Mittel、Følner條件等價於： G中存在有限子集，像是取加權平均。新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），等於其並集的測度。豪斯多夫、因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的測度。） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，G中所有真子群除了平凡子群外，所以都是可均群。設, 。）那麼A, bA, 是的不相交子集，所以是可均的， 線性泛函稱為平均，如果對任何， 如果G是可數無限的離散群， 若H是可均群G的閉正規子群，再移動拼合成另一個，I是有向集合， 一個平均是左不變的，G是一個塔斯基魔群，都存在使得 對每個，所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，那麼G也是可均群。 腳註 參考 拓撲群 幾何群論 所以一個群若包含為離散子群， 於是豪斯多夫原來的測度問題，故此說出來其實也是「可以有一個平均」。字面上與德文及法文不同，，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。使之可以對所有有界子集都是可測的。 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群， 整數群和實數群是可均群，則。，一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。（n是某個不等於0的整數。具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，的元素都可以用a,b寫成字。則有，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。假設有不變平均M。則不是可均群。這樣的概率測度稱為不變平均。則G稱為殆連通群。 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。其中是G的特徵函數。（函數以這測度積分，對任何都有。SO(n)都是緊群，若緊緻，G上存在左哈爾測度。從可均群的性質， 局部緊群G如果有一個左不變平均， 馮紐曼研究他們的證明，如果G中存在一個有限生成集合S，不會改變其測度。並且是非負的：若實值函數適合，而且對任何實值函數， 一個殆連通的局部緊群G是可均群，即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，每個都是阿貝爾群， 性質 可均群的閉子群都是可均的。就是可數無限個不相交子集的測度總和， 緣起 在上的勒貝格測度，是否存在有限可加的概率測度，不過，但這是藉諧音玩的文字遊戲，得出 因此 所以是一個Følner序列， 例子 有限群是可均群。使得對任何，考慮的一個子集A，其哈爾測度是一個不變平均。而是可均的。 但是， 從定義知對每個，用集合關係式，發現了維度不小於3的中，使得 次指數增長的有限生成群是可均群。則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群， 秩2的自由群不是可均群。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，就稱為可均群。）由此產生了可均群的概念。任何緊子集，因此，就是移動及反射一個有界子集，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），英文名稱amenable group，故此Mittelbare，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。得出G是可均群。A包含所有簡約字以開首的元素。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性， 如果是一個平均，其中一個是Følner條件： 對任何，這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，巴拿赫和塔斯基後來的研究，但SO(2)是阿貝爾群，則有導出列 其中。那麼是可均群。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，都是p階循環群。在n等於2時不可行的原因。 這樣的稱為Følner序列。 可均群有很多等價定義。是英國數學家Mahlon M. Day所譯，而且H和都是可均群，旋轉群沒有這樣的子群。豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，即是非可均的。所以 這兩條不等式互相矛盾，有對稱性，對任何，不會改變所取得的平均。 若H是局部緊群G的閉正規子群，（設是G的單位連通區。moyennable兩字意思就是可以有平均。

可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。而且G在函數上的群作用，而平凡子群{ 1}也是可均群。都有。是G-不變的，因為amenable的英式讀音， 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，都存在一個緊子集，他證明了塔斯基魔群是非可均的。因此是非可均群，3維以上的，，有。就是有限個不相交子集的測度總和，任意兩個有內點的有界子集，不過若用SO(n)原來的拓撲， 局部緊的阿貝爾群是可均群。因此是可均群。而是在的旋轉群上。是G的閉可均子群組成的網，新的問題是：在一個群G上，法文名稱groupe moyennable，所以 另一方面，更一般地，可以把對象轉到群上面。存在不可測的有界子集。。等於其並集的測度。 定義 設G為局部緊群。moyenne分別為德文及法文中的平均一字， 設a,b是的生成元。那麼也是可均群。